LEYES DE KEPLER

LEYES DE KEPLER

En el año 1600 un joven Johannes Kepler (1571 - 1630) fue a trabajar como ayudante matemático de Tycho Brahe (1546 - 1601), quién había estado recopilando exhaustivamente datos astronómicos sobre la posición de los planetas en el cielo. A la muerte de Brahe, y a partir de los datos recopilados, Kepler intentó obtener la órbita circular de Marte. Sin embargo ningún círculo se ajustaba a las medidas de Tycho. En lugar de círculos, Kepler encontró que utilizando elipses el ajuste con las observaciones era perfecto. Así surgieron las leyes de Kepler. 

Kepler no comprendió el origen de sus leyes. Fue Newton, años más tarde, quien describió con precisión las magnitudes que permitían explicarlas, enunciando así la ley de la gravitación universal.

1ª Ley de Kepler

Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.

2ª Ley de Kepler

La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Para que esto se cumpla, la velocidad del planeta debe aumentar a medida que se acerque al Sol. Esto sugiere la presencia de una fuerza que permite al Sol atraer los planetas, tal y como descubrió Newton años más tarde.

Suponiendo que el tiempo que se tarda en recorrer un espacio S₁, S₂ y S₃ es el mismo, las áreas A₁, A₂ y A₃ también serán iguales. Esto se debe a que a medida que disminuye la distancia al Sol, la velocidad aumenta (v₁ < v₂ < v₃)

Se define la velocidad areolar v_A como el área barrida por el vector de posición de un cuerpo por unidad de tiempo. La segunda ley de Kepler establece que la velocidad areolar v_A permanece constante a lo largo del recorrido del planeta. Por tanto:

vA=dAdt=cte

En un instante, es decir, un diferencial de tiempo dt, el planeta se desplaza dr→=v→⋅dt . Ya que se trata de un diferencial podemos considerar que dr→  es una línea recta. Pues bien, los vectores r→  y dr→ determinan un paralelogramo cuya área es justo el doble que dA. En la siguiente imagen puedes observar el área correspondiente a dA, que supone la mitad de la del hipotético paralelogramo.

En definitiva, aunque la velocidad areolar v_A sí permanece constante en todo el recorrido, para que se cumpla la segunda ley de Kepler la velocidad instantánea del planeta debe variar según el punto de su trayectoria en que se encuentre y el ángulo θ que formen r→ y v→. 

Además, si la trayectoria de un planeta fuese aproximadamente circular ( excentricidad e ≈ 0 ), θ = 90º en cualquier punto y v₁ = v₂ , es decir, estaríamos ante un movimiento circular uniforme.

Movimiento Circular Uniforme

Cuando la excentricidad de la órbita del planeta es mínima (e ≈ 0), se encuentra siempre a la misma distancia del Sol y por tanto su velocidad se puede considerar constante. De ahí que el movimiento descrito por este sea un m.c.u.

Perihelio y afelio

• Perihelio: Es el punto de la órbita del planeta más próximo al Sol. La velocidad en las proximidades del perihelio es la máxima.
• Afelio: Es el punto de la órbita del planeta más lejano al Sol. La velocidad en las proximidades del afelio es la mínima.

En el perihelio (p) y en el afelio (a) θ = 90º y por tanto:

ra⋅va=rp⋅vp

3ª Ley de Kepler

La tercera ley, también conocida como armónica o de los periodos, relaciona los periodos de los planetas, es decir, lo que tardan en completar una vuelta alrededor del Sol, con sus radios medios.

Para un planeta dado, el cuadrado de su periodo orbital es proporcional al cubo de su distancia media al Sol: T2=k⋅

DD

Donde:

• T : Periodo del planeta. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo ( s )
• k : Constante de proporcionalidad. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo al cuadrado partido metro cúbico ( s²/m³ )
• r : Distancia media al Sol. Por las propiedades de la elipse se cumple que su valor coincide con el del semieje mayor de la elipse, a. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m )

consecuencia de esta ley, los planetas se mueven tanto más despacio cuanto mayor es su órbita. El valor concreto de la constante k será estudiado cuando hayamos introducido la ley de la gravedad formalmente. De momento si que señalaremos que su valor es el mismo para todos aquellos cuerpos que giran en torno a uno determinado. Así, por ejemplo, los planetas del Sistema Solar comparten el valor de k al girar todos ellos alrededor del Sol. También los satélites de un planeta compartirán un valor de k entre ellos.

Es por ello que, en ocasiones, esta ley se presenta de acuerdo a la siguiente expresión:

T12T22=r13r23=a13a23

Donde los subíndices 1 y 2 indican los periodos ( T ) , distancias medias ( r ) y longitud del semieje mayor (a = r ) de las órbitas de dos cuerpos que giran en torno a uno común, por ejemplo, dos planetas cualesquiera alrededor del Sol.