LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Dos cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al cuadrado de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y está dirigida según la recta que une los cuerpos. Dicha fuerza se conoce como fuerza de la gravedad o fuerza gravitacional y se expresa de la forma:

F→g=−G⋅M⋅mr2⋅u→r

Donde:

• F→g
   :Es el vector fuerza gravitatoria. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el newton (N)
• G es la constante de gravitación universal, que no depende de los cuerpos que interaccionan y cuyo valor es G = 6,67·10^-11 N·m²/kg², 
• M y m son las masas de los cuepos que interaccionan. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kilogramo (kg)
• r es la distancia que los separa. Es el módulo del vector r→ , que une la masa que genera la fuerza con la masa sobre la que actúa.
• u→r
   es un vector unitario que posee la misma dirección de actuación de la fuerza aunque de sentido contrario.

Por tanto, la interacción gravitatoria entre dos cuerpos siempre se manifiesta como una pareja de fuerzas iguales en dirección y módulo pero sentido contrario. El caracter atractivo de la fuerza se indica mediante el signo - de la expresión anterior.

La fuerza gravitatoria resultante que actúa sobre una masa cualquiera de un conjunto de más de dos masas se calcula, según el principio de superposición, calculando la resultante de las fuerzas gravitatorias que las demás ejercen sobre ella. 

Así, si por ejemplo tenemos n masas, la fuerza gravitatoria que actuará sobre la primera de las masas se calculará según:

F→1=F→2,1+F→3,1+…+F→n,1

Las tres partículas de la figura interaccionan entre sí a través de la fuerza gravitatoria. Cada una de ellas experimenta un par de fuerzas, debido a las otras dos partículas, y a su vez genera una fuerza sobre cada una de ellas.

Deducción de la ley de la gravedad:

Para deducir la ley de la gravedad podemos considerar una órbita circular de la Tierra alrededor del Sol. Para que se produzca dicho movimiento circular será necesario una fuerza centrípeta que será precisamente la fuerza de la gravedad. Por otro lado, dado que las fuerzas actúan a pares por el principio de acción y reacción, podemos considerar que F_c' como la fuerza de reacción a F_c.

Modelo de trayectoria:

Consideramos que la Tierra y el Sol son partículas puntuales. Podemos hacerlo por que las distancias consideradas son mucho mayores que los tamaños de los astros. Así mismo, sabemos que las órbitas de los planetas son elípticas, pero podemos suponer, para simplificar, que la Tierra tiene una trayectoria circular alrededor del Sól. Al fin y al cabo, una circunferencia no es más que un caso particular de una elipse en el que su excentricidad es cero y la excentricidad de la Tierra es, de hecho, próxima a 0. Finalmente, podemos suponer que la única fuerza significativa que actúa sobre la Tierra es la gravitatoria ejercida por el sol.

La fuerza gravitatoria depende de la distancia

Sabemos que la aceleración centrípeta es la responsable del movimiento circular de la Tierra alrededor del Sol. Dicha aceleración se genera gracias a la fuerza centrípeta, que en este caso, es precisamente la fuerza gravitatoria. Por tanto, teniendo esto en cuenta y a partir del principio fundamental, podemos escribir:

Fg=Fc=mT⋅ac

Conociendo la expresión de la aceleración centrípeta, podemos escribir:

ac=v2r=[1](ω⋅r)2r=[2](2⋅πT⋅r)2r=4⋅π2T2⋅r[1] v=ω⋅r[2] ω=2⋅πT

A partir de las observaciones de Kepler y su tercera ley T2=k⋅r3  , y sustituyendo la aceleración centrípeta en la expresión de la fuerza correspondiente anterior, podemos escribir:

Fg=Fc=mT⋅4⋅π2T2⋅r=mT⋅4⋅π2k⋅r3⋅r=mT⋅4⋅π2kcte=k'⋅1r2=mT⋅k'r2

O, dicho de otro modo, la fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.